Закон Гука и принцип независимости действия сил




НазваниеЗакон Гука и принцип независимости действия сил
страница3/5
Дата конвертации23.07.2013
Размер0.63 Mb.
ТипЗакон
1   2   3   4   5

2.4 Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K. (2.8)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U. (2.9)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В случае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку l, ниже показан график изменения величины удлинения стержня l в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.




Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня l. Дадим некоторое приращение силе Р  соответствующее приращение удлинения составит d (l ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (+ d P)d ( l = Pd ( l + d P  d ( l ) , (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = Pd ( l ). (2.11)

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка  перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 Рl . (2.12)

В свою очередь, когда напряжения  и деформации  распределены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

. (2.13)

Поскольку, в данном случае имеем, что V = А l, P =  А и  = Е , то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным поперечным сечением и при Р = const из (2.14) получим:

. (2.15)

2.5 Статически определимые и статически
неопределимые системы


Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в равновесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее элементах, можно определить только по методу сечений, без использования дополнительных условий, то такая система называется статически определимой.

В реальной практике встречаются такие конструкции, при расчете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается недостаточно, в связи с чем требуется формулирование дополнительных уравнений, связанных с условиями деформирования конструкции.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в статически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

Термин «лишние связи» является условным. Эти связи являются лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действительности эти связи создают дополнительные резервы для конструкций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стержней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система является плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е.

= 0,     = 0. (2.16)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линейных уравнений относительно неизвестных усилий N1 и N2 в которой количество уравнений равно количеству неизвестных:

N1  Nsin  = 0;     Ncos   Р = 0.

Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в стержнях N1, N2 и N3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неизвестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) уравнений равновесия, связывающих эти усилия, называется степенью статической неопределимости рассматриваемой системы.


Рис. 2.5.

В общем случае под nраз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число независимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

2.6 Напряженное и деформированное состояние
при растяжении и сжатии


Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, составляющей угол  с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).



Рис. 2.6.

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р А =  А, (2.17)

где А  площадь поперечного сечения стержня, А = А/cos   площадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р =  сos . (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

 = p cos  =  cos;      = p sin  =  sin 2  . (2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (2.19) следует, что  = ,  = 0. При  = , т.е. на продольных площадках,  =  = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие значения при  = , и их величина составляет max=. Важно отметить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис. 2.7).



Рис. 2.7.

Если обозначить:

прод = ; попер = ,  = ,

то, как показывают эксперименты,  = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Величина  является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов  принимает значения 0,1  0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрезками АВ и АС, в недеформированном состоянии.



Рис. 2.8.

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А , B , C  соответственно. Величина  = ВАС  А B C  называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А  и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А B  (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А B . Из рис. 2.8, б имеем:

прод = ; попер = ,

откуда с учетом прод = получим:

. (2.20)

Для определения  спроектируем ломаную ВLB А  на ось n Ssin  = BL cos ( + ) + LB sin( + ), откуда, учитывая малость угла  , т.е. sin    , cos   1, получим:

 = . (2.21)

В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:

 = .

Откуда

.

Следовательно,

. (2.22)

Сопоставляя выражение  с выражением  из (2.17) окончательно получим закон Гука для сдвига:

(2.23)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.
2.7 Основные механические характеристики
материалов


Для количественной оценки основных свойств материалов, как правило, экспериментально определяют диаграмму растяжения в координатах  и  (рис. 2.9), На диаграмме отмечены характерные точки.



Рис. 2.9.
Дадим их определение.

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональностиП . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой  = f () к оси  определяется величиной Е.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения У , называемого пределом упругости. Под пределом упругости У  понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгрузки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии Т соответственно заменяется на ТР и ТС . При напряжениях больших Т в теле конструкции развиваются пластические деформации П , которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через, ВР (при сжатии ВС ).

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные аппроксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упругопластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля. По этой диаграмме напряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука  = Е , а далее при росте ,  = Т (рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации носит название пластичности. На рис. 2.9 была представлена характерная диаграмма для пластических материалов.



Рис. 2.10. Рис. 2.11.

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости, т.е. способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким. К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.
2.8 Общие принципы расчета конструкции

В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям прочности и жесткости, которые к ней предъявляются. Для этого необходимо, прежде всего, сформулировать те принципы, которые должны быть положены в основу оценки условий достаточной прочности и жесткости.

Наиболее распространенным методом расчета элементов строительных конструкций и сооружений на прочность является расчет по напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что определяющим параметром надежности конструкции является напряжение или, точнее говоря, напряженное состояние в точке. Расчет выполняется в следующем порядке.

На основании анализа напряженного состояния конструкции выявляется та точка сооружения, где возникают наибольшие напряжения. Расчетная величина напряжений сопоставляется с предельно допустимой величиной напряжений для данного материала, полученной на основе предварительных лабораторных испытаний. Из сопоставления найденных расчетных напряжений и предельных напряжений делается заключение о прочности конструкции.

При расчете конструкций по напряжениям условие прочности записывается в виде:

max  [] , (2.24)

где max  расчетное значение напряжения в точке, где возникают наибольшие напряжения, []  допускаемое напряжение.

Величина [] определяется по формуле:

. (2.25)

Здесь n  число, большее единицы, называемое коэффициентом запаса по прочности. Для особо ответственных конструкций, для которых требуется не допускать возникновения пластических деформаций, за величину  принимается  = У . В тех случаях, когда допустимо возникновение пластических деформаций, как правило, принимается  = Т. Для хрупких материалов, а в некоторых случаях и умеренно пластических материалов, принимается  = В . Здесь В   временное сопротивление материала.

Критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений, а именно, напряжения в точке, не всегда и не полностью характеризует условие наступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой критерий целесообразнее принимать предельную нагрузку, которую может выдержать заданная система, не разрушаясь и несущественно изменяя свою форму.

При определении разрушающей нагрузки для конструкций из пластичного материала применяется схематизированная диаграмма напряжений  диаграмма Прандтля (рис. 2.10). Схематизация диаграммы заключается в предположении, что материал на начальном этапе деформирования находится в упругой стадии вплоть до предела текучести, а затем материал обладает неограниченной площадкой текучести. Материал, работающий по такой диаграмме, называется идеально упругопластическим. Такая схематизированная диаграмма деформирования в большей степени соответствует действительной диаграмме деформирования материала, имеющего ярко выраженную площадку текучести, т.е. пластичным материалам (см. п. 2.7).

Если расчет конструкций ведется по предельной нагрузке, то определяющим является выполнение условия

Рmax  [P ], (2.26)

где [P ]  допускаемая сила, которая определяется по формуле:

, (2.27)

Здесь Р  значение внешних нагрузок, при которых происходит разрушение конструкции; n1  коэффициент запаса.

В случае расчета конструкции на жесткость необходимо удовлетворять условию

u  [u], (2.28)

где u и [u]  расчетное и предельно допустимое значения перемещения.

1   2   3   4   5

Похожие:

Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЗакон Гука для упругих деформаций
Цель урока: дать понятие деформации, сформулировать и проверить опытным путем закон Гука для упругих деформаций
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconКонспект урока Тема: «Топливный элемент. Принцип действия топливных элементов тэ. Основные виды тэ». Цель : систематизация и развитие знаний учащихся о принципе действия топливных
Тема: «Топливный элемент. Принцип действия топливных элементов – тэ. Основные виды тэ»
Закон Гука и принцип независимости действия сил icon33. Зануление как метод обеспечения электробезопасности. Область применения, принцип действия
Понятие о кратности воздухообмена. Принцип расчета воздухообмена по избыткам тепла, влаги, вредных веществ
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconПринципы и тактика разрешения конфликтов Принципы Принцип понимания
Принцип понимания : осознание реальной проблемы, соотношения сил в конфликте, предмета конфликта; знание потенциально конфликтных...
Закон Гука и принцип независимости действия сил icon“Зануление”
Схема, назначение, принцип действия и область применения зануления. Необходимость повторного заземления нулевого провода 7
Закон Гука и принцип независимости действия сил icon4. Специальные дисциплины Процессы и аппараты
Каким критерием оценивается эффективность процесса разделения неоднородных систем в поле действия центробежных сил?
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconУказ Президента Российской Федерации от 30 июня 2002 г. N 671 "О внесении изменений в общевоинские уставы Вооруженных Сил Российской Федерации" Собрание закон
В соответствии со статьей 4 Федерального закона от 31 мая 1996 г. N 61-фз "Об обороне", в целях приведения общевоинских уставов Вооруженных...
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЗакон республики беларусь
...
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЛабораторная работа №23 Исследование системы автоматического отключения питания с защитным занулением
Изучить принцип действия зануления и влияние его основных элементов на эффективность защиты от поражения электрическим током
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЛабораторная работа №l отражательный клистрон
Цель работы: изучить устройство и принцип действия отражательного клистрона, проанализировать физические процессы, происходящие в...
Разместите кнопку на своём сайте:
kurs.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kurs.znate.ru 2012
обратиться к администрации
kurs.znate.ru
Главная страница