Закон Гука и принцип независимости действия сил




НазваниеЗакон Гука и принцип независимости действия сил
страница2/5
Дата конвертации23.07.2013
Размер0.63 Mb.
ТипЗакон
1   2   3   4   5

1.4 Напряжения

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку А, в пределах которой действует внутреннее усилие  (рис. 1.4, а). Векторная величина

(1.5)

называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обозначается через  и называется нормальным напряжением.




Рис. 1.4

Проекции вектора на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются касательными напряжениями по направлению соответствующих осей и обозначаются ´ и ´´. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем иметь другое полное напряжение. Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

1.5 Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, а точки тела неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недеформированного состояния, а конец в т. деформированного состояния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформированного состояния, расположенные на расстоянии S друг от друга (рис. 1.5, б).



Рис. 1.5.

Пусть в результате изменения формы тела эти точки переместились в положение А и В, соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину S и составило S + S. Величина

(1.6)

называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы x , y , z .

Линейные деформации x , y , z характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела  угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрезками ОD и ОС (рис. 1.5, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение DOC. Величина

( DOC   DOC) =  (1.7)

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плоскости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются xy , xz , yz .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформированное состояние в точке.

1.6 Закон Гука и принцип независимости
действия сил


Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А (рис. 1.5, а) нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:

u = x P, (1.8)

где Р  сила, под действием которой происходит перемещение u; x  коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

Очевидно, что коэффициент x зависит от физикомеханических свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей системы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями, а не между силой и перемещением. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физикомеханические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом.

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности.

1.7 Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные задачи предмета сопротивление материалов.

2. Что такое расчетная схема объекта?

3. Укажите геометрические признаки стержня, оболочки и массивного тела.

4. Что такое сосредоточенная сила, распределенная нагрузка и момент?

5. Какие усилия включают в себя полная система внешних сил?

6. Перечислите внутренние силовые факторы.

7. Поясните суть метода сечений.

8. Перечислите простые виды сопротивление стержня.

9. Дайте определение понятия «напряжения» и какие виды напряжения вы знаете.

10. Поясните, что такое линейная и угловая деформация.
2 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1 Внутренние силы и напряжения

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной l и площадью поперечного сечения F, на двух концах которого приложены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.1, а). Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z (0   l) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.1, б), приходим к следующему уравнению:

P + Nz = 0,

откуда следует, что Nz = P = const.

Примем для Nz следующее правило знаков. Если Nz направлена от сечения, т.е. вызывает положительную деформацию (растяжение), то она считается положительной. В обратном случае  отрицательной.

Нормальная сила Nz приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом: .

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нормальных  напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.




Рис. 2.1.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямоугольную сетку (рис. 2.1, б), то после нагружения поперечные линии а а, b b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а, следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны

,

где А  площадь поперечного сечения стержня.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения площади поперечного сечения (рис. 2.1, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня.

2.2 Удлинение стержня и закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим  свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 2.2). До нагружения стержня его длина равнялась l , после нагружения она стала равной l + l (рис. 2.2). Величину l называют абсолютным удлинением стержня.





Рис. 2.2.

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация  остается одной и той же по длине стержня и равной

. (2.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину  dz и его деформация составит:

. (2.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

 = E  . (2.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

. (2.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.4) получим

. (2.5)

При решении многих практических задач возникает необходимость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механических нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные температурным воздействием. В этом случае пользуются принципом независимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

, (2.6)

где   коэффициент температурного расширения материала; t перепад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.7)
2.3 Пример расчета (задача № 1)

Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при исходных данных приведенных ниже, требуется (рис. 2.3, а):

1. Определить количество расчетных участков;

2. Составить аналитические выражения для нормальных сил N, нормальных напряжений z и вычислить их значения для каждого из участков с учетом их собственных весов;

3. Построить эпюры Nz и z ;

4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от действия силы Р и собственного веса.

5. Проверить прочность бруса, если допускаемые напряжения []= 150 МПа.

Исходные данные:  Р = 20 кН; l= l= l= 0,4 м; модуль упругости стали Е = 2,1108 кН/м2; А1 = 410-2 м2; А2 = 910-2 м2; А3 = 2510-2 м2;  = 78 кН/м3 .

Решение

1. Определение количества участков. Так как нормальная сила Nz зависит от величин внешних сил, в данном случае включающих в себя и собственный вес колонны, а последний, в свою очередь, от размеров поперечного сечения Аi и объемного веса , то границами участков следует назначать те сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы и где происходит скачкообразное изменение площади поперечного сечения или объемного веса материалов конструкций.

Исходя из вышесказанного, учитывая const, брус будет иметь три участка:

1 участок  от 0 до сечения В (где приложена сила Р);

2 участок  от сечения В до сечения С;

3 участок  от сечения С до сечения D.

Следует заметить, что при определении нормальных напряжений используются те же участки.

  1. Составить аналитические выражения для нормальных сил Nz, нормальных напряжений z и вычислить их значения для каждого из участков, с учетом их собственных весов. Для этого воспользуемся методом сечений.

1 участок (0  В) 0  z1  0,4 м.

Проведя сечение 1  1 на расстоянии z1 от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие верхней части.

При этом к рассматриваемой части прикладываются в центре ее тяжести собственный вес и нормальная сила , заменяющая действие отброшенной нижней части бруса на верхнюю рассматриваемую (рис. 2.3, б). Составив уравнение равновесия рассматриваемой верхней части колонны по оси z , получим:

В свою очередь, собственный вес верхней части колонны определяется следующим образом:

 кН.

Тогда выражение для нормальной силы будет иметь вид:

 кН,

а для нормальных напряжений :

 кН/м2.

Так как, и линейно зависят от z, то для построения их графиков (эпюр) достаточно определить значения этих величин на границах участка, т.е.

при z1 = 0

при z1 = 0,4 м кН;

кН/м2.

Знаки минус при и указывают на то, что принятое направление для этих величин не совпадает с действительным, т. к. в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает первый участок.

2 участок (В  С) 0,4 м  z2  0,8 м.

Аналогично предыдущему проводим сечение 22 на расстоянии z2 (рис. 2.3, в). Для верхней части составляем уравнение равновесия = 0 .

В это уравнение войдут: собственный вес первого участка Р1 = =  Аl1; собственный вес отсеченной части второго участка ; сосредоточенная сила Р = 20 кН, а также сила .

Тогда уравнение равновесия примет вид:Р1  P +  = 0,отсюда

 =   А1 l1   = 20  78410-20,4  78910-2 (z2 0,4) = 
  = 7,02(z2 + 2,62678) кН.

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:



Вычислим значения ординат и в граничных сечениях второго участка:

при z2 = 0,4 м кН,

кН/м2;

при z2 = 0,8 м кН,

кН/м2.

3 участок (С  D) 0,8 м  z3  1,2 м.

Составив уравнение равновесия z = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:

Р1 Р2  P +  = 0, откуда


= P   А1 l  А2 l2   А3 (z3  l1  l2)= 20  78410-20,4 
 78910-2 0,4  782510-2 (z3  0,8) = 19,5(z3 + 0,43364) кН.

Выражение для напряжения:

кН/м2.

Вычислим значения ординат и в граничных сечениях третьего участка:

при z3 = 0,8 м (0,8) = 19,5 (0,8 + 0,43364) = 24,056 кН,

(0,8) = 78 (0,8 + 0,43364) = 96,224кН/м2;

при z3 = 1,2 м (1,2) = 19,5 (1,2 + 0,43364) = 31,856 кН,

кН/м2.

3. Построение эпюр Nz и z. По причине линейной зависимости нормальной силы и напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений Nz и z в граничных сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, де). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выполнение следующих требований:

 скачок в эпюре Nz должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;

 скачки в эпюре z должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения колонны.

После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, де) легко можно убедиться, что построения выполнены правильно.

4. Вычисление перемещения верхнего конца колонны от действия всех сил. Полное перемещение согласно закону Гука может быть вычислено по формуле

.

В данном случае это выражение принимает следующий вид:



Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений li достаточно вычислить площади эпюры Nz на каждом из этих участков и разделить их на Ei Аi . Следовательно,



м.

5.Проверка прочности бруса.

Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид:

max = Nmax/A ≤ [].

Из условия прочности можно выполнять три типа расчетов:

- проверочный расчет на прочность;

- проектировочный расчет (подбор требуемых размеров поперечного сечения бруса);

- определение несущей способности бруса.

Проверим брус на прочность. Максимальные напряжения в опасном сечении определяем по эпюре напряжений:

max = 267,29 кН/м2 <[] = 150· 103 КПа. Прочность бруса обеспечена.
1   2   3   4   5

Похожие:

Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЗакон Гука для упругих деформаций
Цель урока: дать понятие деформации, сформулировать и проверить опытным путем закон Гука для упругих деформаций
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconКонспект урока Тема: «Топливный элемент. Принцип действия топливных элементов тэ. Основные виды тэ». Цель : систематизация и развитие знаний учащихся о принципе действия топливных
Тема: «Топливный элемент. Принцип действия топливных элементов – тэ. Основные виды тэ»
Закон Гука и принцип независимости действия сил icon33. Зануление как метод обеспечения электробезопасности. Область применения, принцип действия
Понятие о кратности воздухообмена. Принцип расчета воздухообмена по избыткам тепла, влаги, вредных веществ
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconПринципы и тактика разрешения конфликтов Принципы Принцип понимания
Принцип понимания : осознание реальной проблемы, соотношения сил в конфликте, предмета конфликта; знание потенциально конфликтных...
Закон Гука и принцип независимости действия сил icon“Зануление”
Схема, назначение, принцип действия и область применения зануления. Необходимость повторного заземления нулевого провода 7
Закон Гука и принцип независимости действия сил icon4. Специальные дисциплины Процессы и аппараты
Каким критерием оценивается эффективность процесса разделения неоднородных систем в поле действия центробежных сил?
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconУказ Президента Российской Федерации от 30 июня 2002 г. N 671 "О внесении изменений в общевоинские уставы Вооруженных Сил Российской Федерации" Собрание закон
В соответствии со статьей 4 Федерального закона от 31 мая 1996 г. N 61-фз "Об обороне", в целях приведения общевоинских уставов Вооруженных...
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЗакон республики беларусь
...
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЛабораторная работа №23 Исследование системы автоматического отключения питания с защитным занулением
Изучить принцип действия зануления и влияние его основных элементов на эффективность защиты от поражения электрическим током
Закон Гука и принцип независимости действия сил iconЛабораторная работа №l отражательный клистрон
Цель работы: изучить устройство и принцип действия отражательного клистрона, проанализировать физические процессы, происходящие в...
Разместите кнопку на своём сайте:
kurs.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kurs.znate.ru 2012
обратиться к администрации
kurs.znate.ru
Главная страница