Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов




НазваниеЛабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов
Дата конвертации02.04.2013
Размер181.53 Kb.
ТипЛабораторная работа
Лабораторная работа № 7

Нелинейная регрессия

Цель работы:

  1. Изучить возможности MATLAB для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов.

  2. Приобрести навыки нахождения функции аппроксимации для нелинейной зависимости.

  3. Научиться определять погрешность аппроксимации.



Основные теоретические сведения





  1. Метод наименьших квадратов

Физические величины зачастую подчиняются зависимостям, отличным от линейных или полиномиальных.

Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора a параметров произвольной функции F (x, a0 , a1, … , am), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек.

Ввиду простоты расчетов аппроксимация линейной зависимости используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.

Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости y(x) = φ(x, a0 , a1), в результате которого она приобретает линейный вид v = b0 + b1∙u. Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты b0 и b1 пересчитываются в коэффициенты a0 и a1.

Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных (а также, обратные замены для пересчета b0 и b1 в a0 и a1) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Вид зависимости

Замена переменных

Ограничения

Обратная замена переменных

Гиперболическая













Логарифмическая













Показательная















Степенная













Комбинированная













  1. Нахождение коэффициентов полинома

В системе MATLAB определены функции аппроксимации данных полиномами по методу наименьших квадратов, которая основана на минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от модели:

polyfit(x, y, n),

где x и y – векторы, содержащие координаты экспериментальных точек,
n – степень полинома (максимальная степень полинома должна быть на 1 меньше числа экспериментальных точек).

Функция polyfit находит коэффициенты полинома заданной степени n. Результатом этой функции является вектор-строка длиной n+1, содержащий коэффициенты полинома в порядке уменьшения степеней х.



  1. Порядок выполнения лабораторной работы




  1. Ознакомиться с основными теоретическими сведениями.

  2. Запустить систему MATLAB.

  3. Установить свой текущий каталог.

  4. Сохранить протокол сессии в файле с именем:
    Отчет_по_лр7_<Группа>_<Фамилия>

  5. Для своего варианта задания создать вектор х и вектор y.

  6. Построить график исходной функции y=f(x) кружочками.

  7. Графоаналитическим способом определить подходящую функцию y(x), которой можно представить исходную (см. Пример).

  8. Выполнить соответствующую замену переменных (см. табл. 1).

  9. Найти коэффициенты линеаризованной зависимости.

  10. Выполнить обратный переход к экспериментальной зависимости.

  11. Построить аппроксимирующую функцию в том же (исходном) интервале изменения х, но со значительно большим количеством точек, на одном графике с исходной функцией.

  12. Сохранить график. Вставить его в протокол сессии.

  13. Оценить погрешность аппроксимации.

  14. Составить отчет. Защитить работу.


Содержание отчета

  1. Номер, тема и цель лабораторной работы.

  2. Краткие теоретические сведения.

  3. Условие своего варианта задания. Выполнение, результат, график.



Контрольные вопросы

  1. Чем отличаются интерполяция и аппроксимация?

  2. С какой целью и каким образом проводится линеаризация?

  3. Как найти коэффициенты линеаризованной зависимости?

  4. Как оценить погрешность аппроксимации?



Пример:

Функция у=f(х) задана в виде таблицы


х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

0,95

1,33

1,68

1,78

1,68

1,95

1,97

1,87

1,92

1,90


Необходимо определить значения функции при значениях аргументов шести произвольных точек, находящихся в пределах заданного интервала.

Решение:

% Задание исходных данных (п.5)

>> x=1:10;

>> y=[0.95 1.33 1.68 1.78 1.68 1.95 1.97 1.87 1.92 1.9];

>> plot(x,y,'o') % построение исходных данных кружочками

% Из графика видно, что функцию y=f(x) можно представить в виде гиперболической

% Линеаризация экспериментальной зависимости y=f(x)
>> U=1./x; V=у; % замена переменных

% Вычисление параметров линеаризованной зависимости V=f(U)

>> c=polyfit(U,V,1) % нахождение коэффициентов

c =

-1.1397 2.0368 % это коэффициенты b1 и b0

>> b0=c(2); b1=c(1);

% Обратный переход к экспериментальной зависимости y=f(x)

>> a0=b0; a1=b1; % следует из табл.1 для выбранной гиперболической зависимости

% Построение аппроксимирующей функции

>> х1=x(1) : 0.1: x(10); % задание большего количества точек

>> у1=a0+a1./x1; % вычисление значений аппроксимирующей функции

>> hold , plot(x1,у1)

% Оценка погрешности аппроксимации

>> уА=a0+a1./x; % вычисление значений аппроксимирующей функции в исходных точках

>> E=std(у - уА,1) % среднеквадратическое отклонение

E =

0.0778 % малая погрешность означает, что полученная в результате аппроксимации функция может быть математической моделью.
Построенный график



Таблица 2

Варианты заданий на лабораторную работу


№ варианта

Экспериментальные данные

1

х

-1

-0,55

-0,1

-0,35

0,8

1,25

1,7

2,15

2,6

3,05




у

-6,78

-6,56

-6,14

-5,31

-3,68

-0,85

5,81

18,15

42,4

90,03

2

х

0,01

0,56

1,11

1,66

2,21

2,28

3,3

3,85

4,4

4,95




у

34,23

5,97

1,28

-1,54

-3,54

-5,09

-6,36

-7,44

-8,37

-9,2

3

х

-2

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

1,6




у

16

10,24

5,76

2,56

0,53

0

0,64

2,56

5,76

10,24

4

х

0,3

1,57

2,84

4,11

5,38

6,65

7,92

9,19

10,46

11,73




у

15,33

4,55

3,41

2,97

2,74

2,6

2,59

2,44

2,38

2,34

5

х

-3,5

-2,65

-1,8

-0,95

-0,1

0,75

1,6

2,45

3,3

4,15




у

0,01

0,03

0,07

0,12

0,19

0,2

0,29

0,31

0,325

0,33

6

х

0,15

0,94

1,72

2,51

3,29

4,08

4,86

5,65

6,43

7,22




у

-9,69

-4,2

-2,37

-1,25

-0,43

0,21

0,74

1,3

1,58

1,93

7

х

0,35

0,82

1,28

1,75

2,21

2,675

3,14

3,605

4,07

4,535




у

6,86

5,23

4,78

4,57

4,45

4,37

4,35

4,28

4,25

4,22

8

х

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8




у

4,14

4,2

4,3

4,45

4,67

5

5,49

6,85

7,32

8,95

9

х

2

2,3

2,6

2,9

3,2

3,5

3,8

4,1

4,4

4,7




у

2,67

4,06

6,16

8,13

10,92

14,29

18,29

22,97

28,39

34,6

10

х

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4




у

0,01

0,02

0,05

0,11

0,21

0,38

0,42

0,47

0,49

0,5

11

х

0,95

1,21

1,47

1,74

2,0

2,26

2,52

2,78

3,05

3,31




у

8,16

3,39

2,19

1,34

0,88

0,61

0,54

0,33

0,28

0,19

12

х

0,35

0,82

1,28

1,75

2,21

2,68

3,14

3,61

4,07

4,535




у

16,99

8,83

6,61

5,56

4,96

4,62

4,29

4,09

3,93

3,8

13

х

-1,7

-1,43

-1,16

-0,89

-0,62

-0,35

-0,08

0,19

0,46

0,73




у

26,96

14,46

7,17

2,92

0,45

-0,98

-1,35

-2,31

-2,6

-2,77

14

х

-5

-3,5

-2

-0,5

1

2,5

4

5,5

7

8,5




у

0

0,01

0,06

0,28

0,87

2,05

2,92

3,23

3,31

3,33

15

х

-2

-1,4

-0,8

-0,2

0,4

1,0

1,6

2,2

2,8

3,4




у

6,8

3,33

1,09

0,02

0,27

1,7

4,35

8,23

13,33

19,65







Похожие:

Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconИнструкция по работе в Mathcad. Контрольная работа№1. Аппроксимация методом наименьших квадратов функции одной переменной, заданной таблицей
Лабораторная работа №1 по теме: Применение метода наименьших квадратов для аппроксимации функции одной переменной, заданной таблицей...
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconЛабораторная работа №1 Работа в среде Matlab. Структура Signal Processing Toolbox
Цель работы: Получить основные навыки работы в среде Matlab. Изучить возможности пакета Signal Processing Toolbox по генерации сигналов....
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconТема занятия: Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов используется для расчетов параметров функции заданного вида, наилучшим образом отражающую зависимость...
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconКонтрольная работа№1. Аппроксимация методом наименьших квадратов функции одной переменной, заданной таблицей Краткая теория и пример. Постановка задачи. Дана таблица результатов наблюдений
Контрольная работа№1. Аппроксимация методом наименьших квадратов функции одной переменной, заданной таблицей
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconПрограмма по дисциплине «Эконометрика» для специальности
Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях. Метод наименьших квадратов (мнк)
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconЛабораторная работа n 3 «Учет эффектов конечной точности вычислений в matlab»
Цель работы: изучение функций пакета matlab используемых для учета эффектов, связанных с конечной точностью представления чисел в...
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconЛабораторная работа № Работа в командном окне системы Matlab 3
Целью данной лабораторной работы является ознакомление с основами работы в среде Matlab: изучение типов используемых данных, работа...
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconТомск Лабораторная работа №1(2)
Применение метода максимального правдоподобия (метода наименьших квадратов) для построения моделей систем: исследование связи между...
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов icon2. Расчётно-графические задания
Аппроксимация таблично заданной функции одной переменной методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №7 Нелинейная регрессия Цель работы: Изучить возможности matlab для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов iconЛабораторная работа 03 определение электродвижущей силы источника тока методом компенсации
Цель работы: ознакомление с методом конденсации и измерение эдс методом компенсации
Разместите кнопку на своём сайте:
kurs.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kurs.znate.ru 2012
обратиться к администрации
kurs.znate.ru
Главная страница